什么是虚数

一、什么是虚数?

首先,假设有一根数轴,上面有两个反向的点:+1和-1。

这根数轴的正向部分,可以绕原点旋转。显然,逆时针旋转180度,+1就会变成-1。

这相当于两次逆时针旋转90度。

因此,我们可以得到下面的关系式:

  (+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)

如果把+1消去,这个式子就变为:

  (逆时针旋转90度)^2 = (-1)

将”逆时针旋转90度”记为 i :

  i^2 = (-1)

这个式子很眼熟,它就是虚数的定义公式。

所以,我们可以知道,虚数 i 就是逆时针旋转90度,i 不是一个数,而是一个旋转量。

二、复数的定义

既然 i 表示旋转量,我们就可以用 i ,表示任何实数的旋转状态。

将实数轴看作横轴,虚数轴看作纵轴,就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数,必然唯一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标,比如( 1 , i ),就可以确定某个实数的旋转量(45度)。

数学家用一种特殊的表示方法,表示这个二维坐标:用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如,把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数(complex number),其中 1 称为实数部,i 称为虚数部。

为什么要把二维坐标表示成这样呢,下一节告诉你原因。

三、虚数的作用:加法

虚数的引入,大大方便了涉及到旋转的计算。

比如,物理学需要计算”力的合成”。假定一个力是 3 + i ,另一个力是 1 + 3i ,请问它们的合成力是多少?

根据”平行四边形法则”,你马上得到,合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

这就是虚数加法的物理意义。

四、虚数的作用:乘法

如果涉及到旋转角度的改变,处理起来更方便。

比如,一条船的航向是 3 + 4i 。

如果该船的航向,逆时针增加45度,请问新航向是多少?

45度的航向就是 1 + i 。计算新航向,只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了(原因在下一节解释):

  ( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以,该船的新航向是 -1 + 7i 。

如果航向逆时针增加90度,就更简单了。因为90度的航向就是 i ,所以新航向等于:

  ( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

这就是虚数乘法的物理意义:改变旋转角度。

五、虚数乘法的数学证明

为什么一个复数改变旋转角度,只要做乘法就可以了?

下面就是它的数学证明,实际上很简单。

任何复数 a + bi,都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。

假定现有两个复数 a + bi 和 c + di,可以将它们改写如下:

  a + bi = r1 * ( cosα + isinα )

c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

 

这两个复数相乘,( a + bi )( c + di ) 就相当于

  r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

 

展开后面的乘式,得到

  cosα * cosβ – sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

 

根据三角函数公式,上面的式子就等于

  cos(α+β) + isin(α+β)

 

所以,

  ( a + bi )( c + di ) = r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

 

这就证明了,两个复数相乘,就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

(完)

效坤诗钞

军阀张宗昌,因追随张作霖有功,被封为山东军务督办。宗昌先生遂觉自己身为孔圣之地的父母官,不带点斯文,岂不枉来山东。于是于当地拜师学艺。经一番苦练,宗昌先生忽然尾大,功力大进,不久便出版一本诗集,此即不世出的《效坤诗钞》(注:效坤为张宗昌的字)。

节选
——————————————–
俺也写个大风歌
大炮开兮轰他娘,威加海内兮回家乡。
数英雄兮张宗昌,安得巨鲸兮吞扶桑。
——————————————–
求雨
玉皇爷爷也姓张,
为啥为难俺张宗昌?
三天之内不下雨,
先扒龙皇庙,
再用大炮轰你娘。
——————————————–
笑刘邦
听说项羽力拔山,吓得刘邦就要窜。
不是俺家小张良,奶奶早已回沛县。
——————————————–
游泰山
远看泰山黑糊糊,上头细来下头粗。
如把泰山倒过来,下头细来上头粗。
——————————————–
天上闪电
忽见天上一火链,好像玉皇要抽烟。
如果玉皇不抽烟,为何又是一火链。
——————————————–
大明湖
大明湖 明湖大
大明湖里有荷花
荷花上面有蛤蟆
一戳一蹦达
——————————————–
游蓬莱阁
好个蓬莱阁,
他妈真不错。
神仙能到的,
俺也坐一坐。
靠窗摆下酒,
对海唱高歌。
来来猜几拳,
舅子怕喝多!
——————————————–
游西方
早听西方好,
他妈真不孬。
本想多玩玩,
睁眼却没了。
——————————————–
无题
要问女人有几何,
俺也不知多少个。
昨天一孩喊俺爹,
不知他娘是哪个?
——————————————–
混蛋诗
你叫我去这样干,
他叫我去那样干。
真是一群小混蛋,
全都混你妈的蛋。
——————————————–
破冰歌
看见地上一条缝,
灌上凉水就上冻。
如果不是冻化了,
谁知这里有条缝。
——————————————–
趵突泉,泉趵突,

三股水,光咕嘟,

咕嘟咕嘟光咕嘟!

大明湖,明湖大,

大明湖里有蛤蟆。

蛤蟆叫,咕儿呱,

咕儿呱咕儿呱咕儿呱!

罗伯特·杜瓦诺诞辰100周年

今天看到向日葵网志访问量突然大增,很是奇怪。仔细看了下,原来今天是法国摄影大师罗伯特·杜瓦诺(Robert Doisneau,1912—1994)诞辰100周年。google涂鸦专门设计了logo向大师致敬。很多朋友通过google来到了我09年发的一篇日志:罗伯特·杜瓦诺摄影作品选
google今日涂鸦:

罗伯特·杜瓦诺

 

附大师生平:

1931年(19岁):任安德烈,维格纽的助手。
1932年(20岁):售出第一套由照片组成的图片故事。
1934年–1939年:在雷诺汽车厂担任工业摄影师。
1939年(27岁):由于经常迟到而被辞退,成为独立摄影师。认识拉复图片社奠基人查理斯-拉多,并得到第一个采访任务,但因二战爆发而未能完成。
1942年(30岁):与马克西兰-伏克斯相识,为他的科学著作拍摄插图。
1945年(33岁):参加联合图片社,认识了包括卡蒂埃布勒松在内的一批摄影名家。
1951年(39岁):在纽约现代艺术博物馆举办法国摄蛸四人展。另三人是布拉赛、威利-苦尼斯和依捷斯。这意味着杜瓦诺获得了国际性的认可。
1956年(44岁):荣获涅普斯摄影奖。
1960年(48岁):美国洛杉矶和好莱坞摄影采访。作品在芝加哥现代艺术博物馆展出。   1968年(56岁):到苏联摄影采访。法国国家图书馆举办杜瓦诺个人影展。
1972年(60岁):作品在纽约乔诺-依斯曼馆展出。莫斯科法国大使馆同时展出他的作品。  1973年(61岁):于费朗西斯-波赛勒合作拍了一部《罗贝尔-杜瓦诺在巴黎》电影短片。   1979年(67岁):杜瓦生平回顾展在巴黎现代艺术博物馆展出。导演F-莫斯科维兹拍一部有关三位摄影家的电影,杜瓦诺是其中之一。另二人让洛浦-西埃夫和布鲁诺-巴尔贝。
1981年(69岁):作品在纽约威特金画廊展出。
1983年(71岁):获国家摄影大奖。4月,在中国举行个人展览。
1986年(74岁):杜瓦诺个人摄影在巴黎展出,并出作版作品影集。
1994年1月:去世,享年82岁。
杜瓦诺热爱巴黎,热爱生活在他周围的平民百姓,是一个平民摄影家。他喜欢跟普普通通的市民们在一起泡酒店,喝咖啡,谈天。人们不但不怕杜瓦诺身边的相机,甚至还心甘情愿地充当他某些镜头中的模特。杜瓦诺说:”我喜欢平平常常的老百姓,尽管他们身上可能会有这样那样的毛病,但我并不在乎。我们会在一起谈得融洽,挺热乎,亲如一爱”。在跟这些平民百姓来往和接触中,杜瓦诺挖掘出一幅又一幅精彩的杰作。

仅此致以崇高的敬意!